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和差化积公式是什么

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  • 2020-04-17 17:02:45
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现在越来越多的小伙伴对于和差化积公式是什么这方面的问题开始感兴趣,因为大家现在都是想要熟知,那么既然现在大家都想要知道和差化积公式是什么,小编今天就来给大家针对这样的问题做个科普介绍吧。

和差化积公式:包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式,是三角函数中的一组恒等式,和差化积公式共10组。在应用和差化积时,必须是一次同名(正切和余切除外)三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次。

只记两个公式甚至一个

可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

第二个公式中的 ,即 ,这就可以用第一个公式。

同理,第四个公式中, ,这就可以用第三个公式解决。

如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把余弦全部转化为正弦,那样就只记住第一个公式就行了。

用的时候想得起一两个就行了。

结果乘以2

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2] ,因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:

故最后需要乘以2。

只有同名三角函数能和差化积

无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以2

在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α 和β,这两个角应该是 和 ,也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。

使用哪两种三角函数的积

这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/的三角函数名。

是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

的三角函数名规律为:和化为积时,以 的形式出现;反之,以 的形式出现。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把 替换为 ,结果应当是一样的,从而 的形式是 ;另一种情况可以类似说明。

余弦·余弦差公式中的顺序相反与负号

这是一个特殊情况,完全可以死记下来。

当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如 内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α >β 时, 小于 。但是这时对应的 和 在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把 放到 前面,要么就在式子的最前面加上负号。

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